f(f(x))=-xを満たす関数fを定義せよ(いんちき解答)

ネタ元：OSS WEB: 2006-04-17 [quiz] f (f x) ==> -x
おれカネ先生のところ経由
 はてなブックマークを見るといろいろな方が挑戦されている模様
[議論の準備]
以下のように $\bf{X}$ と $\bf{A}$ を定義する。
$\bf{X = \begin{bmatrix}x \\ 0 \end{bmatrix}}$
$\bf{A} = \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

[ちょっとした計算]
$\bf{AX = \begin{bmatrix}0 \\ x \end{bmatrix}}$
$\bf{AAX = \begin{bmatrix}-x \\ 0 \end{bmatrix}}$
よって $\bf{AAX = -X}$

[結論]
$f(\cdot)$ を $\bf{X}$ に $\bf{A}$ を掛けることだと定義すると $f (f (\bf{X})) = -\bf{X}$ を満たす。

[補足]元々の問題では「実数から実数への関数f」を定義しろといっているので、行列とベクトルを用いたこの回答は元々の問題の意図に反すると思うのですが、参考意見として「こんな発想もあるのかぁ」程度に思っていただければ。こういう行列の性質それ自体はよく知られたもので、中学か高校で習うと思います。